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불확실성 전파(Propagation of uncertainty) = 불확도 전파

조브 2025. 1. 8. 21:15

 

불확실성 전파(Propagation of uncertainty) = 불확도 전파는

 

여러 독립 변수의 불확실성이 결합되어, 결과 변수의 불확실성에 영향이 미치는 정도를 계산하고 분석하는 방법입니다.

 

이 때 "각 측정 변수가 독립적이라고 가정"합니다.

 

xi : 측정값
z : 비측정값 (계산값)
Uxi : 측정값
xi의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 )
Uz : 계산값 z의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 )

Uz=i=1n(zxi)2Uxi2

 

 

 

 

 

위 공식의 증명은 아래와 같습니다. [1]

 

z=f(x1,x2) 라고 하면, 이를 테일러 급수로 전개하면 다음과 같이 됩니다.

 

 

z=f(x1,x2)+\pdx[x1]f(x1,x2)(x1x1)+\pdx[x2]f(x1,x2)(x2x2)+12!2f(x1,x2)x1(x1x1)+12!2f(x1,x2)x2(x2x2)+...

 

 

다변수 테일러급수

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다변수 테일러급수

 

고차항을 제거하여 근사하면 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.

 

z=f(x1,x2)+\pdx[x1]f(x1,x2)(x1x1)+\pdx[x2]f(x1,x2)(x2x2)+\cancelto012!2f(x1,x2)x1(x1x1)+\cancelto012!2f(x1,x2)x2(x2x2)+...=f(x1,x2)+\pdx[x1]f(x1,x2)(x1x1)+\pdx[x2]f(x1,x2)(x2x2)

 

 

 

f(x1,x2)=z 이고

 

\pdx[x1]f(x1,x2)=C1, \pdx[x2]f(x1,x2)=C2 라 하면 아래와 같이 간략화 할 수 있습니다.

 

 

zz=C1(x1x1)+C2(x2x2)

 

 

 

양변을 제곱하면, 

 

(zz)2={C1(x1x1)+C2(x2x2)}2=C12(x1x1)2+C22(x2x2)2+2C1C1(x1x1)(x2x2)

 

양변에 기댓값을 취하면

 

E[(zz)2]=E[C12(x1x1)2]+E[C22(x2x2)2]+E[2C1C1(x1x1)(x2x2)]

 

 

표준편차와 공분산의 정의에 따라 아래와 같이 표현됩니다.

 

σz2=C12σx12+C22σx22+2C1C1cov(x1,x2)

 

두 변수가 독립으로 가정했으므로 공분산은 0이 됩니다.

 

 

σz2=C12σx12+C22σx22+\cancelto02C1C1cov(x1,x2)

 

C1,C2를 원래의 값을 대입하고, 정리하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

σz=\pdx[x1]f(x1,x2)2σx12+\pdx[x2]f(x1,x2)2σx22


[1] https://blog.naver.com/thesci/221574494949