불확실성 전파(Propagation of uncertainty) = 불확도 전파

 

불확실성 전파(Propagation of uncertainty) = 불확도 전파는

 

여러 독립 변수의 불확실성이 결합되어, 결과 변수의 불확실성에 영향이 미치는 정도를 계산하고 분석하는 방법입니다.

 

이 때 "각 측정 변수가 독립적이라고 가정"합니다.

 

$ x_i $ : 측정값
$ z $ : 비측정값 (계산값)
$ U_{xi} $ : 측정값
$x_i$의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 )
$ U_z $ : 계산값 $z$의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 )

$ U_z = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} {\left(\dfrac{\partial z}{\partial x_i}\right)^2 U_{xi}^2}} $

 

 

 

 

 

위 공식의 증명은 아래와 같습니다. [1]

 

$z = f(x_1, x_2) $ 라고 하면, 이를 테일러 급수로 전개하면 다음과 같이 됩니다.

 

 

\begin{aligned}

z = f( \overline{x_1},  \overline{x_2}  ) +  \pdx[x_1]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) }(x_1- \overline{x_1} ) + \pdx[x_2]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) }(x_2- \overline{x_2} ) \\ + \dfrac{1}{2!} \dfrac{\partial^2 f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2}  ) }{\partial x_1} (x_1- \overline{x_1} )  + \dfrac{1}{2!} \dfrac{\partial^2 f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2}  ) }{\partial x_2} (x_2- \overline{x_2} )  + ...

\end{aligned}

 

 

다변수 테일러급수

다변수 테일러급수

 

고차항을 제거하여 근사하면 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.

 

\begin{aligned}
z  = f( \overline{x_1},  \overline{x_2}  ) +  \pdx[x_1]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) }(x_1- \overline{x_1} ) + \pdx[x_2]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) }(x_2- \overline{x_2} ) \\ + \cancelto{0}{\dfrac{1}{2!} \dfrac{\partial^2 f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2}  ) }{\partial x_1} (x_1- \overline{x_1} )}  + \cancelto{0}{\dfrac{1}{2!} \dfrac{\partial^2 f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2}  ) }{\partial x_2} (x_2- \overline{x_2} )}  + ... \\

\\
 =  f( \overline{x_1},  \overline{x_2}  ) +  \pdx[x_1]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) }(x_1- \overline{x_1} ) + \pdx[x_2]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) }(x_2- \overline{x_2} ) 
\end{aligned}

 

 

 

$ f( \overline{x_1},  \overline{x_2}  ) = \overline{z} $ 이고

 

$ \pdx[x_1]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) } = C_1 $, $ \pdx[x_2]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) } =C_2 $ 라 하면 아래와 같이 간략화 할 수 있습니다.

 

 

\begin{aligned}
z - \overline{z} = C_1(x_1- \overline{x_1} ) + C_2(x_2- \overline{x_2} ) 
\end{aligned}

 

 

 

양변을 제곱하면, 

 

\begin{aligned}
(z - \overline{z})^2 &= \{C_1(x_1- \overline{x_1} ) + C_2(x_2- \overline{x_2})\}^2 \\
\\
& = C_1^2(x_1- \overline{x_1})^2 + C_2^2(x_2- \overline{x_2})^2 + 2C_1C_1 (x_1- \overline{x_1}) (x_2- \overline{x_2})
\end{aligned}

 

양변에 기댓값을 취하면

 

\begin{aligned}
{\bf{E}}[ (z - \overline{z})^2] &= {\bf{E}}  [ C_1^2(x_1- \overline{x_1})^2 ] + {\bf{E}}   [C_2^2(x_2- \overline{x_2})^2 ]+ {\bf{E}}  [2C_1C_1 (x_1- \overline{x_1}) (x_2- \overline{x_2})]
\end{aligned}

 

 

표준편차와 공분산의 정의에 따라 아래와 같이 표현됩니다.

 

\begin{aligned}
\sigma_z^2 &=  C_1^2\sigma_{x_1}^2  + C_2^2 \sigma_{x_2}^2+ 2C_1C_1 cov(x_1,x_2)
\end{aligned}

 

두 변수가 독립으로 가정했으므로 공분산은 0이 됩니다.

 

 

\begin{aligned}
\sigma_z^2 &=  C_1^2\sigma_{x_1}^2  + C_2^2 \sigma_{x_2}^2+ \cancelto{0}{ 2C_1C_1 cov(x_1,x_2)}

\end{aligned}

 

$C_1$,$C_2$를 원래의 값을 대입하고, 정리하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

\begin{aligned}
\sigma_z &= \sqrt{ \pdx[x_1]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) } ^2\sigma_{x_1}^2  + \pdx[x_2]{ f( \overline{x_1} ,  \overline{x_2} ) } ^2 \sigma_{x_2}^2}

\end{aligned}

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[1] https://blog.naver.com/thesci/221574494949