불확실성 전파(Propagation of uncertainty) = 불확도 전파

 

불확실성 전파(Propagation of uncertainty) = 불확도 전파는

 

여러 독립 변수의 불확실성이 결합되어, 결과 변수의 불확실성에 영향이 미치는 정도를 계산하고 분석하는 방법입니다.

 

이 때 "각 측정 변수가 독립적이라고 가정"합니다.

 

$x_i$ : 측정값
$z$ : 비측정값 (계산값)
$U_{xi}$ : 측정값
$x_i$의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 )
$U_z$ : 계산값 $z$의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 )

$U_z=\sqrt{\sum _{i=1}^n{\left({\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x_i}}\right)}^2{U}_{xi}^2}$

 

 

 

 

 

위 공식의 증명은 아래와 같습니다. [1]

 

$z=f(x_1,x_2)$ 라고 하면, 이를 테일러 급수로 전개하면 다음과 같이 됩니다.

 

 

$$\begin{array}{r}z=f(\overline{x_1},\overline{x_2})+{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_1}}(x_1-\overline{x_1})+{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_2}}(x_2-\overline{x_2})\\ +{\displaystyle \frac{1}{2!}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_1}}(x_1-\overline{x_1})+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_2}}(x_2-\overline{x_2})+...\end{array}$$

 

 

다변수 테일러급수

다변수 테일러급수

 

고차항을 제거하여 근사하면 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.

 

$$\begin{array}{r}z=f(\overline{x_1},\overline{x_2})+{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_1}}(x_1-\overline{x_1})+{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_2}}(x_2-\overline{x_2})\\ +{\cancel{{\displaystyle \frac{1}{2!}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_1}}(x_1-\overline{x_1})}}^0+{\cancel{{\displaystyle \frac{1}{2!}}{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_2}}(x_2-\overline{x_2})}}^0+...\\ \\ =f(\overline{x_1},\overline{x_2})+{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_1}}(x_1-\overline{x_1})+{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_2}}(x_2-\overline{x_2})\end{array}$$

 

 

 

$f(\overline{x_1},\overline{x_2})=\bar{z}$ 이고

 

${\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_1}}=C_1$, ${\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_2}}=C_2$ 라 하면 아래와 같이 간략화 할 수 있습니다.

 

 

$$\begin{array}{r}z-\bar{z}=C_1(x_1-\overline{x_1})+C_2(x_2-\overline{x_2})\end{array}$$

 

 

 

양변을 제곱하면, 

 

$$\begin{array}{rl}(z-\bar{z}{)}^2& =\{C_1(x_1-\overline{x_1})+C_2(x_2-\overline{x_2}){\}}^2\\ \\ & =C_1^2(x_1-\overline{x_1}{)}^2+C_2^2(x_2-\overline{x_2}{)}^2+2C_1{C}_1(x_1-\overline{x_1})(x_2-\overline{x_2})\end{array}$$

 

양변에 기댓값을 취하면

 

$$\begin{array}{rl}\mathbf{E}[(z-\bar{z}{)}^2]& =\mathbf{E}[C_1^2(x_1-\overline{x_1}{)}^2]+\mathbf{E}[C_2^2(x_2-\overline{x_2}{)}^2]+\mathbf{E}[2C_1{C}_1(x_1-\overline{x_1})(x_2-\overline{x_2})]\end{array}$$

 

 

표준편차와 공분산의 정의에 따라 아래와 같이 표현됩니다.

 

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_z^2& =C_1^2{\sigma }_{x_1}^2+C_2^2{\sigma }_{x_2}^2+2C_1{C}_{1}cov(x_1,x_2)\end{array}$$

 

두 변수가 독립으로 가정했으므로 공분산은 0이 됩니다.

 

 

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_z^2& =C_1^2{\sigma }_{x_1}^2+C_2^2{\sigma }_{x_2}^2+{\cancel{2C_1{C}_{1}cov(x_1,x_2)}}^0\end{array}$$

 

$C_1$,$C_2$를 원래의 값을 대입하고, 정리하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_z& =\sqrt{{{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_1}}}^2{\sigma }_{x_1}^2+{{\displaystyle \frac{\partial f(\overline{x_1},\overline{x_2})}{\partial x_2}}}^2{\sigma }_{x_2}^2}\end{array}$$

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[1] https://blog.naver.com/thesci/221574494949