Dream.Hacker

텐서 표기법(Indicial notation)

벡터와 텐서의 표기법인 Indicial notation에 대해서 정리하였습니다. 기본 표기법Vector$$ \vec{v}(x,y,z) = \color{red}{v_i} $$ $i : \text{free index}$ Tensor$$ \underline{\underline{A}} = \color{red} {A_{ij}} $$ $i,j : \text{free index}$ 벡터의 경우 1개의 free index, 2차원 텐서의 경우 2개의 free index로 표기  Einstein summation convention(아인슈타인의 합규약)$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = {\color{red}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}}}{a_i b_i} = \color{red}{a_..

2차원 평면에서 벡터장에 대한 그린의 정리와 2차원 발산의 정리의 공식과 그 물리적 의미를 설명합니다.이후 3차원으로 확장되면 각각 스토크의 정리와 가우스의 발산정리가 됩니다.  2차원 평면에서 벡터장 F가 아래와 같고, 폐곡선 c와 그로 둘러싸인 영역 R에 대하여$$ \vec{F} = P(x,y) \hati +Q(x,y) \hatj$$접선방향 벡터:$$ d\vec{r} = dx \hati +dy \hatj$$법선방향 벡터:$$ d\vec{s} = dy \hati - dx \hatj$$경로 c를 따라 벡터장 F가 수행한 일:$$  \oint_c \vec{F} \cdot \,d\vec{r} $$경로 c를 통해 나가는 벡터장 F의 flux*:$$  \oint_c \vec{F} \cdot \,d\vec{s} ..

연산자표현입력값결과값의미gradient$ \mathrm{grad} \; \phi \equiv \nabla \phi$ 스칼라벡터기울기divergence$ \mathrm{div}  \; \mathbf{F}  \equiv \nabla \cdot \mathbf{F}$벡터스칼라발산curl$ \mathrm{curl} \; \mathbf{F} \equiv \nabla \times \mathbf{F}$벡터벡터회전[1] https://e-magnetica.pl/doku.php/vector_calculus    아래의 그림은 스칼라의 gradient와 벡터의 divergence, curl 연산과의 관계를 잘 보여줍니다.          아래는 gradient와 divergence, curl을 그래픽적으로 가장 잘 보여준 ..

불확실성 전파(Propagation of uncertainty) = 불확도 전파는 여러 독립 변수의 불확실성이 결합되어, 결과 변수의 불확실성에 영향이 미치는 정도를 계산하고 분석하는 방법입니다. 이 때 "각 측정 변수가 독립적이라고 가정"합니다. $ x_i $ : 측정값 $ z $ : 비측정값 (계산값) $ U_{xi} $ : 측정값 $x_i$의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 ) $ U_z $ : 계산값 $z$의 불확실성 ( 측정오차 혹은 표준편차 ) $ U_z = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} {\left(\dfrac{\partial z}{\partial x_i}\right)^2 U_{xi}^2}} $     위 공식의 증명은 아래와 같습니다. [1] $z = f(x_1, x_2) $ 라..

레이놀즈 수송정리(RTT, Reynolds transport theorem)로부터 연속방정식(Continuity equation)을 유도하는 과정에 대해서 알아보도록 하겠습니다. [1]   일반화된 레이놀즈의 수송정리는 아래와 같습니다. $ \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{\partial}{\partial t} \displaystyle \int_{cv}{\rho \beta} \, dV + \displaystyle \int_{cs}{\rho \beta \vec{v} \, d \vec{A}} $   다음으로, $ B=m $, $ \beta = 1 $ 로 선정합니다. 질량보존의 법칙에 의해 $ \dfrac{dm}{dt} = 0 $ 이 되므로 그럼 레이놀즈의 수송정리는 아래와 같이 간단히 쓸 수 있습..

유체역학에서Newton의 제 2법칙으로부터, 베르누이 방정식을 유도하는 과정에 대해서 설명하도록 하겠습니다.         steamline 좌표계(유선 좌표계, s-n좌표계)에서 s방향(유선방향) 으로 F=ma 를 적용합니다. $ \sum \delta F_s = \delta m \cdot a_s = dW_s + dF_{ps} + \cancelto{0}{dF_{\tau s}} $                ① $ \delta m \cdot a_s $ [가정1. 정상상태로 가정] 정상상태에서 유선좌표계의 s방향 가속도 $a_s$는 $ a_s = v_s \dfrac{\partial v_s}{\partial s} + \cancelto{0}{\dfrac{\partial v_s}{\partial t}} $ 이므로..

전자기학이나 유체역학에서 사용되는 물질 도함수(Material derivative)에 대해서 설명합니다. 물질 미분은 공간과 시간에 따라 변하는 속도장 내의 물질 요소에 대해 (열이나 운동량과 같은) 물리량의 시간적 변화율을 의미[1] wikipedia : Material derivative 시간과 공간의 함수  $ f = f(x,y,z,t) $ 를 전미분하면, 전미분 정의에 따라 $ df = \dfrac{\partial f}{\partial t}dt + \dfrac{\partial f}{\partial x}dx  + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy   + \dfrac{\partial f}{\partial z}dz $ 가 되고, 양변은 $dt$로 나눠주면, $ \dfrac{df..

유체역학의 유선, 유적선, 유맥선의 개념이 헷갈려 여러 문헌 및 동영상을 참고하여 정리하였습니다.  1. 유선(Streamline):   어떤 한 순간에 모든 유체입자의 속도에 접하는 선2. 유적선(Pathline):    한 유체입자가 일정 시간 동안 이동한 선3. 유맥선(Streakline): 어떤 한순간에, 특정한 점을 지나온 여러 유체 입자들을 이은 선   각각의 차이점에 대해서 아래와 같이 정리할 수 있을 것 같습니다. 입자시간유선(Streamline)모든 입자한 순간유적선(Pathline)한 입자일정 시간동안유맥선(Streakline)(동일한 특정 포인트를 지나온) 여러 입자 한 순간     유선(Streamline)은 모든 유체입자의 속도 벡터에 접선을 연결한 선입니다. 아래의 초록색 선에 ..

$ \theta $가 작은 경우, 삼각 함수는 아래와 같이 근사할 수 있습니다.$ sin \theta \approx \theta$$ cos \theta \approx 1$$ tan \theta \approx \theta$   이는 2가지 방법으로 간단히 증명가능합니다. 우선 첫 번째로 기하학적 방법입니다.  $\theta$ 가 아주 작은 경우, $b \approx l $ , $a \approx r$로 볼 수 있습니다. 따라서 $ sin \theta = \dfrac{b}{r} \approx \dfrac{l}{r} = \dfrac{r\theta}{r} = \theta$ 이 됩니다. 즉, $ sin \theta \approx \theta $ 이 됩니다. 마찬가지로 $ cos \theta $에 대해서도 $ co..

고체와 유체에서 전단변형률, 전단응력과 전단계수, 점성계수에 대해서 알아보자  - 고체의 전단변형률 (shear strain) $ \gamma = \dfrac{\delta s}{L} = tan \delta \phi $  미소 변형 $( \delta \phi  $ \gamma = \dfrac{\delta s}{L} = tan \delta \phi \approx \delta \phi $ 가 된다.   - 유체의 전단변형률 $ \delta s = U \cdot \delta t$ ( 이동거리는 속도 x 시간 )이므로, 전단변형률은 아래와 같이 표현 할 수 있다. $  \gamma = \dfrac{\delta s}{L} = \dfrac{U \cdot \delta t}{L} \approx \delta \phi $ ..