일반화된 연속방정식 유도 (레이놀즈 수송정리)

레이놀즈 수송정리(RTT, Reynolds transport theorem)로부터

 

연속방정식(Continuity equation)을 유도하는 과정에 대해서 알아보도록 하겠습니다. [1]

 

 

 

일반화된 레이놀즈의 수송정리는 아래와 같습니다.

 

${\displaystyle \frac{dB}{dt}}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}{\displaystyle {\int }_{cv}\rho \beta dV+{\displaystyle {\int }_{cs}\rho \beta \overrightarrow{v}d\overrightarrow{A}}}$

 

 

 

다음으로, $B=m$, $\beta =1$ 로 선정합니다.

 

질량보존의 법칙에 의해 ${\displaystyle \frac{dm}{dt}}=0$ 이 되므로

 

그럼 레이놀즈의 수송정리는 아래와 같이 간단히 쓸 수 있습니다.

 

${\displaystyle \frac{dm}{dt}}={\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}}{\displaystyle {\int }_{cv}\rho dV+{\displaystyle {\int }_{cs}\rho \overrightarrow{v}d\overrightarrow{A}=0}}$

 

$V$가 시간에 의해 변화되지 않는다면, $\frac{\partial }{\partial t}$가 적분 기호 안으로 들어갈 수 있으므로

(고정된 CV가 아니라 변화하는 CV에 대해서도, 절대속도를 사용한다면, $\frac{\partial }{\partial t}$가 적분 기호 안으로 들어갈 수 있다 [2] )

 

${\displaystyle {\int }_{cv}{\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}dV+{\displaystyle {\int }_{cs}\rho \overrightarrow{v}d\overrightarrow{A}=0}}$

 

 

 

다음으로 가우스의 발산정리에 의해 CS에 대한 면적분을 CV에 대한 체적적분으로 변경할 수 있다.

 

${\displaystyle {\int }_{cv}{\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}dV+{\displaystyle {\int }_{cv}\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})d\overrightarrow{A}={\displaystyle {\int }_{cv}\left[{\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})\right]d\overrightarrow{A}=0}}}$

 

 

 

괄호 안의 항이 0이 되어야 하므로 일반화된 연속 방정식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})=0$  : 일반화된 연속 방정식

 

 

 

 

각 항은 아래와 같은 의미를 지닌다.

${\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}$	$\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})$
밀도의 시간 변화율	단위 부피당 질량의 유출입 변화율
${\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}<0$	$\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})>0$ : 유출 > 유입 (질량 감소)
${\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}>0$	$\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})<0$ : 유출 < 유입 (질량 증가)

 

 

 

일반적 연속방정식은 아래와 같이 물질미분으로 다른 형태로 나타낼 수 있다.

 

${\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}+\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})=0$

$\mathrm{\nabla }(\rho \overrightarrow{v})=\overrightarrow{v}\mathrm{\nabla }\rho +\rho \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}$ 이므로 아래와 같이 변경할 수 있다.

 

${\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}}+\overrightarrow{v}\mathrm{\nabla }\rho +\rho \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}=0$

 

 

 

물질 도함수 정의에 의해

 

아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

${\displaystyle \frac{D\rho }{Dt}}+\rho \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}=0$

 

---

[1] https://mahi.ucsd.edu/guy/sio224/stokes-part1.pdf

[2] me.psu.edu/cimbala/me320/Lesson_Notes/Fluid_Mechanics_Lesson_04E.pdf