일반화된 연속방정식 유도 (레이놀즈 수송정리)

레이놀즈 수송정리(RTT, Reynolds transport theorem)로부터

 

연속방정식(Continuity equation)을 유도하는 과정에 대해서 알아보도록 하겠습니다. [1]

 

 

 

일반화된 레이놀즈의 수송정리는 아래와 같습니다.

 

$ \dfrac{dB}{dt} = \dfrac{\partial}{\partial t} \displaystyle \int_{cv}{\rho \beta} \, dV + \displaystyle \int_{cs}{\rho \beta \vec{v} \, d \vec{A}} $

 

 

 

다음으로, $ B=m $, $ \beta = 1 $ 로 선정합니다.

 

질량보존의 법칙에 의해 $ \dfrac{dm}{dt} = 0 $ 이 되므로

 

그럼 레이놀즈의 수송정리는 아래와 같이 간단히 쓸 수 있습니다.

 

$ \dfrac{dm}{dt} = \dfrac{\partial}{\partial t} \displaystyle \int_{cv}{\rho} \, dV + \displaystyle \int_{cs}{\rho \vec{v} \, d \vec{A}} = 0 $

 

$V$가 시간에 의해 변화되지 않는다면, $ \frac{\partial}{\partial t} $가 적분 기호 안으로 들어갈 수 있으므로

(고정된 CV가 아니라 변화하는 CV에 대해서도, 절대속도를 사용한다면, $ \frac{\partial}{\partial t} $가 적분 기호 안으로 들어갈 수 있다 [2] )

 

$ \displaystyle \int_{cv}  \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t}  \, dV + \displaystyle \int_{cs}{\rho \vec{v} \, d \vec{A}} = 0 $

 

 

 

다음으로 가우스의 발산정리에 의해 CS에 대한 면적분을 CV에 대한 체적적분으로 변경할 수 있다.

 

$ \displaystyle \int_{cv}  \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t}  \, dV + \displaystyle \int_{cv}{\nabla (\rho \vec{v})} \, d \vec{A} = \displaystyle \int_{cv} \left[ { \dfrac{\partial  {\rho} }{\partial t}  + \nabla (\rho \vec{v})} \right] \, d \vec{A} = 0 $

 

 

 

괄호 안의 항이 0이 되어야 하므로 일반화된 연속 방정식을 아래와 같이 쓸 수 있다.

$ { \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t}   + \nabla (\rho \vec{v})} = 0 $  : 일반화된 연속 방정식

 

 

 

 

각 항은 아래와 같은 의미를 지닌다.

$ \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t}  $	$ { \nabla (\rho \vec{v})} $
밀도의 시간 변화율	단위 부피당 질량의 유출입 변화율
$ \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t} < 0 $	$ { \nabla (\rho \vec{v})} > 0$ : 유출 > 유입 (질량 감소)
$ \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t}  > 0 $	$ { \nabla (\rho \vec{v})} < 0$ : 유출 < 유입 (질량 증가)

 

 

 

일반적 연속방정식은 아래와 같이 물질미분으로 다른 형태로 나타낼 수 있다.

 

$ { \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t}   + \nabla (\rho \vec{v})} = 0 $

$ \nabla (\rho \vec{v}) = \vec{v} \nabla \rho + \rho \nabla \vec{v} $ 이므로 아래와 같이 변경할 수 있다.

 

$ { \dfrac{\partial {\rho} }{\partial t}  + \vec{v} \nabla \rho + \rho \nabla \vec{v} } = 0 $

 

 

 

물질 도함수 정의에 의해

 

아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

$ { \dfrac{D{\rho} }{D t}  + \rho \nabla \vec{v} } = 0 $

 

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[1] https://mahi.ucsd.edu/guy/sio224/stokes-part1.pdf

[2] me.psu.edu/cimbala/me320/Lesson_Notes/Fluid_Mechanics_Lesson_04E.pdf