베르누이 방정식(Bernoulli's equation) 유도

 

유체역학에서

Newton의 제 2법칙으로부터, 베르누이 방정식을 유도하는 과정에 대해서 설명하도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

유선을 따라 흐르는 유체의 미소 입자($\delta s\times \delta n\times \delta y)$의 자유물체도

 

 

 

 

steamline 좌표계(유선 좌표계, s-n좌표계)에서 s방향(유선방향) 으로 F=ma 를 적용합니다.

 

$\sum \delta F_s=\delta m\cdot a_s=d{W}_s+d{F}_{ps}+{\cancel{d{F}_{\tau s}}}^0$              

 

 

① $\delta m\cdot a_s$

 

[가정1. 정상상태로 가정] 

정상상태에서 유선좌표계의 s방향 가속도 $a_s$는

 

$a_s=v_s{\displaystyle \frac{\partial v_s}{\partial s}}+{\cancel{{\displaystyle \frac{\partial v_s}{\partial t}}}}^0$ 이므로,

 

$\delta m\cdot a_s=\delta m\cdot (v_s{\displaystyle \frac{\partial v_s}{\partial s}})=(\rho \delta V)\cdot (v_s{\displaystyle \frac{\partial v_s}{\partial s}})$         ... 식(1)

 

 

② $d{W}_s+d{F}_{ps}$

 

$d{W}_s$	$d{F}_{ps}$	$d{F}_{\tau s}$
중력에 의한 힘	압력에 의한 힘	전단력에 의한 힘 = 0  [가정2. 비점성유체]

 

중력에 의한 힘은

$d{W}_s=-dWsin\theta =-\gamma \delta Vsin\theta$                       ... 식(2)

 

압력에 의한 힘은

$d{F}_{ps}=(p-\delta p_s)\delta n\delta y-(p+\delta p_s)\delta n\delta y$

         $=-2\delta p_s\delta n\delta y$

 

이때, $\delta p_s={\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s}}{\displaystyle \frac{\delta s}{2}}$ 가 되는데,

이는 '중심에서 압력 변화량 $\delta p_s$은 압력의 s방향 변화율 x 거리/2' 라는 의미로 직관적으로 이해

 

$d{F}_{ps}=-\cancel{2}({\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s}}{\displaystyle \frac{\delta s}{\cancel{2}}})\delta n\delta y=-{\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s}}\delta V$  ... 식(3)

 

 

       

식(1) = 식(2) + 식(3)으로 부터,

 

$(\rho \cancel{\delta V})\cdot (v_s{\displaystyle \frac{\partial v_s}{\partial s}})=-\gamma \cancel{\delta V}sin\theta -{\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s}}\cancel{\delta V}$ 를 얻을 수 있고

 

$\delta V$를 제거하면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

$\rho v_s{\displaystyle \frac{\partial v_s}{\partial s}}=-\gamma sin\theta -{\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s}}$     ... 식(4)

 

 

 

식(4)의 각 항들은 아래와 같이 풀 수 있다.

 

i) $sin\theta ={\displaystyle \frac{dz}{ds}}$

 

ii) $dp={\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s}}ds+{\displaystyle \frac{\partial p}{\partial n}}{\cancel{dn}}^0$ (유선을 따라 n= const ) 

${\displaystyle \frac{\partial p}{\partial s}}={\displaystyle \frac{dp}{ds}}$

 

iii) 마찬가지로 ${\displaystyle \frac{\partial v}{\partial s}}={\displaystyle \frac{dv}{ds}}$이고, 

 

곱의 미분법

${\displaystyle \frac{d{v}^2}{ds}}={\displaystyle \frac{d(v\cdot v)}{ds}}={\displaystyle \frac{dv}{ds}}v+v{\displaystyle \frac{dv}{ds}}=2v{\displaystyle \frac{dv}{ds}}$에 의해

 

$v_s{\displaystyle \frac{\partial v_s}{\partial s}}=v_s{\displaystyle \frac{d{v}_s}{ds}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(v_s{)}^2}{ds}}$

 

 

따라서 i),ii),iii)을 식(4)에 적용하면

 

$\rho ({\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{d(v_s{)}^2}{ds}})=-\gamma {\displaystyle \frac{dz}{ds}}-{\displaystyle \frac{dp}{ds}}$

 

$ds$ 약분하고 이항하여 정리하면

 

$dp+\rho \cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}d{v_s}^2+\gamma dz=0$           

 

 

[가정3. 비압축성 유체]

비압축성 유체라 가정하면, $\rho =const$ 이므로, 위 식을 적분할 수 있다.

 

 

$p+{\displaystyle \frac{1}{2}}\rho {v_s}^2+\gamma z=C$           

 

 

가 되어 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.

 

 

양변을 $\rho$로 나눠주면, 아래와 같은 형태로도 표현할 수 있다.

${\displaystyle \frac{p}{\rho }}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{v_s}^2+gz=C$           

 

 

 

식을 전개하면서 했던 3가지 가정은 아래와 같고, 이 경우에만 베르누이 방정식을 적용할 수 있다.

 

[가정1. 정상상태로 가정] 

[가정2. 비점성유체]

[가정3. 비압축성 유체]

 

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https://user.engineering.uiowa.edu/~fluids/archive/lecture_notes/Chapter_3_Sec1/Chapter3-09252008.pdf