베르누이 방정식(Bernoulli's equation) 유도

 

유체역학에서

Newton의 제 2법칙으로부터, 베르누이 방정식을 유도하는 과정에 대해서 설명하도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

유선을 따라 흐르는 유체의 미소 입자($\delta s \times \delta n \times \delta y)$의 자유물체도

 

 

 

 

steamline 좌표계(유선 좌표계, s-n좌표계)에서 s방향(유선방향) 으로 F=ma 를 적용합니다.

 

$ \sum \delta F_s = \delta m \cdot a_s = dW_s + dF_{ps} + \cancelto{0}{dF_{\tau s}} $              

 

 

① $ \delta m \cdot a_s $

 

[가정1. 정상상태로 가정] 

정상상태에서 유선좌표계의 s방향 가속도 $a_s$는

 

$ a_s = v_s \dfrac{\partial v_s}{\partial s} + \cancelto{0}{\dfrac{\partial v_s}{\partial t}} $ 이므로,

 

$ \delta m \cdot a_s  = \delta m \cdot ( v_s \dfrac{\partial v_s}{\partial s} ) = (\rho \delta V) \cdot ( v_s \dfrac{\partial v_s}{\partial s} ) $         ... 식(1)

 

 

② $ dW_s + dF_{ps} $

 

$dW_s$	$dF_{ps}$	$dF_{\tau s}$
중력에 의한 힘	압력에 의한 힘	전단력에 의한 힘 = 0  [가정2. 비점성유체]

 

중력에 의한 힘은

$ dW_s = - dW sin\theta = - \gamma \delta V sin\theta $                       ... 식(2)

 

압력에 의한 힘은

$ dF_{ps} = (p-\delta p_s) \delta n \delta y - (p+\delta p_s) \delta n \delta y $

         $  = -2 \delta p_s \delta n \delta y $

 

이때, $ \delta p_s = \dfrac{\partial p}{\partial s} \dfrac{\delta s}{2} $ 가 되는데,

이는 '중심에서 압력 변화량 $ \delta p_s$은 압력의 s방향 변화율 x 거리/2' 라는 의미로 직관적으로 이해

 

$ dF_{ps} = -\cancel{2} (\dfrac{\partial p}{\partial s} \dfrac{\delta s}{\cancel 2})  \delta n \delta y = - \dfrac{\partial p}{\partial s} \delta V$  ... 식(3)

 

 

       

식(1) = 식(2) + 식(3)으로 부터,

 

$ (\rho \cancel{\delta V}) \cdot ( v_s \dfrac{\partial v_s}{\partial s} )  = - \gamma \cancel{\delta V} sin\theta - \dfrac{\partial p}{\partial s} \cancel{\delta V} $ 를 얻을 수 있고

 

$ \delta V$를 제거하면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

$ \rho v_s \dfrac{\partial v_s}{\partial s}  = - \gamma sin\theta - \dfrac{\partial p}{\partial s} $     ... 식(4)

 

 

 

식(4)의 각 항들은 아래와 같이 풀 수 있다.

 

i) $ sin \theta = \dfrac{dz}{ds} $

 

ii) $ dp = \dfrac{\partial p}{\partial s} ds + \dfrac{\partial p}{\partial n} \cancelto{0}{dn} $ (유선을 따라 n= const ) 

$ \dfrac{\partial p}{\partial s} = \dfrac{dp}{ds} $

 

iii) 마찬가지로 $  \dfrac{\partial v}{\partial s} = \dfrac{dv}{ds} $이고, 

 

곱의 미분법

$ \dfrac{d{v}^{2}}{ds} = \dfrac{d(v \cdot v)}{ds} = \dfrac{dv}{ds}v+ v \dfrac{dv}{ds} = 2 v \dfrac{dv}{ds} $에 의해

 

$ v_s \dfrac{\partial v_s}{\partial s} = v_s \dfrac{dv_s}{ds} = \dfrac{1}{2}\dfrac{d({v_s})^2}{ds} $

 

 

따라서 i),ii),iii)을 식(4)에 적용하면

 

$ \rho (\dfrac{1}{2}\dfrac{d({v_s})^2}{ds})   = - \gamma \dfrac{dz}{ds} - \dfrac{dp}{ds} $

 

$ds$ 약분하고 이항하여 정리하면

 

$  dp + \rho \cdot \dfrac{1}{2}d{v_s}^2  + \gamma dz = 0$           

 

 

[가정3. 비압축성 유체]

비압축성 유체라 가정하면, $ \rho = const $ 이므로, 위 식을 적분할 수 있다.

 

 

$  p + \dfrac{1}{2}\rho{v_s}^2  + \gamma z = C$           

 

 

가 되어 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.

 

 

양변을 $\rho$로 나눠주면, 아래와 같은 형태로도 표현할 수 있다.

$ \dfrac{p}{\rho} + \dfrac{1}{2}{v_s}^2  + gz = C$           

 

 

 

식을 전개하면서 했던 3가지 가정은 아래와 같고, 이 경우에만 베르누이 방정식을 적용할 수 있다.

 

[가정1. 정상상태로 가정] 

[가정2. 비점성유체]

[가정3. 비압축성 유체]

 

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https://user.engineering.uiowa.edu/~fluids/archive/lecture_notes/Chapter_3_Sec1/Chapter3-09252008.pdf