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베르누이 방정식(Bernoulli's equation) 유도

조브 2025. 1. 2. 22:07

 

유체역학에서

Newton의 제 2법칙으로부터, 베르누이 방정식을 유도하는 과정에 대해서 설명하도록 하겠습니다.

 

 

 

 

 

유선을 따라 흐르는 유체의 미소 입자(δs×δn×δy)의 자유물체도

 

 

 

 

steamline 좌표계(유선 좌표계, s-n좌표계)에서 s방향(유선방향) 으로 F=ma 를 적용합니다.

 

δFs=δmas=dWs+dFps+\cancelto0dFτs              

 

 

δmas

 

[가정1. 정상상태로 가정] 

정상상태에서 유선좌표계의 s방향 가속도 as

 

as=vsvss+\cancelto0vst 이므로,

 

δmas=δm(vsvss)=(ρδV)(vsvss)         ... 식(1)

 

 

dWs+dFps

 

dWs dFps dFτs
중력에 의한 힘 압력에 의한 힘 전단력에 의한 힘 = 0 
[가정2. 비점성유체]

 

중력에 의한 힘은

dWs=dWsinθ=γδVsinθ                       ... 식(2)

 

압력에 의한 힘은

dFps=(pδps)δnδy(p+δps)δnδy

         =2δpsδnδy

 

이때, δps=psδs2 가 되는데,

이는 '중심에서 압력 변화량 δps은 압력의 s방향 변화율 x 거리/2' 라는 의미로 직관적으로 이해

 

dFps=\cancel2(psδs\cancel2)δnδy=psδV  ... 식(3)

 

 

       

식(1) = 식(2) + 식(3)으로 부터,

 

(ρ\cancelδV)(vsvss)=γ\cancelδVsinθps\cancelδV 를 얻을 수 있고

 

δV를 제거하면, 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

 

ρvsvss=γsinθps     ... 식(4)

 

 

 

식(4)의 각 항들은 아래와 같이 풀 수 있다.

 

i) sinθ=dzds

 

ii) dp=psds+pn\cancelto0dn (유선을 따라 n= const ) 

ps=dpds

 

iii) 마찬가지로 vs=dvds이고, 

 

곱의 미분법

dv2ds=d(vv)ds=dvdsv+vdvds=2vdvds에 의해

 

vsvss=vsdvsds=12d(vs)2ds

 

 

따라서 i),ii),iii)을 식(4)에 적용하면

 

ρ(12d(vs)2ds)=γdzdsdpds

 

ds 약분하고 이항하여 정리하면

 

dp+ρ12dvs2+γdz=0           

 

 

[가정3. 비압축성 유체]

비압축성 유체라 가정하면, ρ=const 이므로, 위 식을 적분할 수 있다.

 

 

p+12ρvs2+γz=C           

 

 

가 되어 베르누이 방정식을 얻을 수 있다.

 

 

양변을 ρ로 나눠주면, 아래와 같은 형태로도 표현할 수 있다.

pρ+12vs2+gz=C           

 

 

 

식을 전개하면서 했던 3가지 가정은 아래와 같고, 이 경우에만 베르누이 방정식을 적용할 수 있다.

 

[가정1. 정상상태로 가정] 

[가정2. 비점성유체]

[가정3. 비압축성 유체]

 


https://user.engineering.uiowa.edu/~fluids/archive/lecture_notes/Chapter_3_Sec1/Chapter3-09252008.pdf