삼각함수의 작은 각도 근사

 

 

 

$ \theta $가 작은 경우, 삼각 함수는 아래와 같이 근사할 수 있습니다.

$ sin \theta \approx \theta$
$ cos \theta \approx 1$
$ tan \theta \approx \theta$

 

 

 

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이는 2가지 방법으로 간단히 증명가능합니다.

 

우선 첫 번째로 기하학적 방법입니다.

 

 

$\theta$ 가 아주 작은 경우, $b \approx l $ , $a \approx r$로 볼 수 있습니다.

 

따라서 $ sin \theta = \dfrac{b}{r} \approx \dfrac{l}{r} = \dfrac{r\theta}{r} = \theta$ 이 됩니다.

 

즉, $ sin \theta \approx \theta $ 이 됩니다.

 

마찬가지로 $ cos \theta $에 대해서도

 

$ cos \theta = \dfrac{a}{r} \approx \dfrac{r}{r} = 1 $ 이 되어서

 

$ cos \theta \approx 1 $ 이 됩니다.

 

$tan \theta$는 $cos \theta$ 와 $sin \theta$ 를 이용하여

 

$tan \theta = \dfrac{sin \theta}{cos \theta} \approx \dfrac{\theta}{1} = \theta$ 로 근사 할 수 있습니다.

 

 

 

 

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두 번째로 테일러 급수를 이용한 방법입니다.

 

$ sin \theta $와 $ cos \theta $의 테일러급수는 아래와 같습니다.

 

$ sin \theta =  \theta - \dfrac{\theta^3}{3!}+ \dfrac{\theta^5}{5!} -  \dfrac{\theta^7}{7!} + ...  $

 

$ cos \theta =  1 - \dfrac{\theta^2}{2!}+ \dfrac{\theta^4}{4!} -  \dfrac{\theta^6}{6!} + ...  $

 

 

 

$\theta$가 아주 작은 경우, 제곱항 이상은 0으로 봐도 무방합니다.

 

$ sin \theta \approx  \theta - \cancelto{0}{\dfrac{\theta^3}{3!}}+ \cancelto{0}{ \dfrac{\theta^5}{5!}} -  \cancelto{0}{\dfrac{\theta^7}{7!}} + ... = \theta $

 

$ cos \theta =  1 - \cancelto{0}{ \dfrac{\theta^2}{2!}}+ \cancelto{0}{ \dfrac{\theta^4}{4!}} -  \cancelto{0}{ \dfrac{\theta^6}{6!}} + ... = 1 $

 

$tan \theta = \dfrac{sin \theta}{cos \theta} \approx \dfrac{\theta}{1} = \theta$