삼각함수의 작은 각도 근사

 

 

 

$\theta$가 작은 경우, 삼각 함수는 아래와 같이 근사할 수 있습니다.

$sin\theta \approx \theta$
$cos\theta \approx 1$
$tan\theta \approx \theta$

 

 

 

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이는 2가지 방법으로 간단히 증명가능합니다.

 

우선 첫 번째로 기하학적 방법입니다.

 

 

$\theta$ 가 아주 작은 경우, $b\approx l$ , $a\approx r$로 볼 수 있습니다.

 

따라서 $sin\theta ={\displaystyle \frac{b}{r}}\approx {\displaystyle \frac{l}{r}}={\displaystyle \frac{r\theta }{r}}=\theta$ 이 됩니다.

 

즉, $sin\theta \approx \theta$ 이 됩니다.

 

마찬가지로 $cos\theta$에 대해서도

 

$cos\theta ={\displaystyle \frac{a}{r}}\approx {\displaystyle \frac{r}{r}}=1$ 이 되어서

 

$cos\theta \approx 1$ 이 됩니다.

 

$tan\theta$는 $cos\theta$ 와 $sin\theta$ 를 이용하여

 

$tan\theta ={\displaystyle \frac{sin\theta }{cos\theta }}\approx {\displaystyle \frac{\theta }{1}}=\theta$ 로 근사 할 수 있습니다.

 

 

 

 

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두 번째로 테일러 급수를 이용한 방법입니다.

 

$sin\theta$와 $cos\theta$의 테일러급수는 아래와 같습니다.

 

$sin\theta =\theta -{\displaystyle \frac{{\theta }^3}{3!}}+{\displaystyle \frac{{\theta }^5}{5!}}-{\displaystyle \frac{{\theta }^7}{7!}}+...$

 

$cos\theta =1-{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{{\theta }^4}{4!}}-{\displaystyle \frac{{\theta }^6}{6!}}+...$

 

 

 

$\theta$가 아주 작은 경우, 제곱항 이상은 0으로 봐도 무방합니다.

 

$sin\theta \approx \theta -\text{cancelto}0{\displaystyle \frac{{\theta }^3}{3!}}+\text{cancelto}0{\displaystyle \frac{{\theta }^5}{5!}}-\text{cancelto}0{\displaystyle \frac{{\theta }^7}{7!}}+...=\theta$

 

$cos\theta =1-\text{cancelto}0{\displaystyle \frac{{\theta }^2}{2!}}+\text{cancelto}0{\displaystyle \frac{{\theta }^4}{4!}}-\text{cancelto}0{\displaystyle \frac{{\theta }^6}{6!}}+...=1$

 

$tan\theta ={\displaystyle \frac{sin\theta }{cos\theta }}\approx {\displaystyle \frac{\theta }{1}}=\theta$