물질 도함수 (물질 미분)

 

전자기학이나 유체역학에서 사용되는 물질 도함수(Material derivative)에 대해서 설명합니다.

 

물질 미분은 공간과 시간에 따라 변하는 속도장 내의 물질 요소에 대해 (열이나 운동량과 같은) 물리량의 시간적 변화율을 의미

[1] wikipedia : Material derivative

 

시간과 공간의 함수 

 

$f=f(x,y,z,t)$ 를 전미분하면,

 

전미분 정의에 따라

 

$df={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}}dt+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}dx+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}dy+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}dz$

 

가 되고, 양변은 $dt$로 나눠주면,

 

${\displaystyle \frac{df}{dt}}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}}+\underset{―}{{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}}{\displaystyle \frac{dy}{dt}}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}}{\displaystyle \frac{dz}{dt}}}$ 

 

위의 식을 물질 도함수라 정의합니다.

 

위의 밑줄 친 부분은 아래와 같이 벡터 내적으로 바꿔 표현할 수 있습니다.

 

        $={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}}+({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}},{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}})\cdot ({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}},{\displaystyle \frac{dz}{dt}})$

 

        $={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}}+\mathrm{\nabla }f\cdot \mathbf{\text{u}}$

 

따라서, 아래와 같이 물질 도함수를 정의합니다.

${\displaystyle \frac{Df}{Dt}}\equiv {\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}}+\mathrm{\nabla }f\cdot \mathbf{\text{u}}$

 

${\displaystyle \frac{Df}{Dt}}$	${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}}$	$\mathrm{\nabla }f\cdot \mathbf{\text{u}}$
물질 미분	국소 미분	대류 미분
	고정된 위치에서 시간에 대한 편미분	입자가 어떤 속도로 움직이는 상황에서 미분
	시간 항	공간 항

 [2] [ 물리의 핵심을 쉽게 ] 물질미분 국소미분 대류미분 참고

 

 

 

 

물질 미분은 Material derivative, substantial derivative , Lagrangian derivative 과 같은 다양한 이름이 있으며,

 

오일러(Eulerian) 방법과 라그랑지(Lagrangian) 방법 간에 전환을 의미합니다.

 

 

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[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Material_derivative

[2] https://www.youtube.com/watch?v=Kq_qq1xkoJA&ab_channel=Handel