그린의 정리, 2차원 발산정리 (스토크스의 정리, 가우스의 발산정리)

 

 

 

 

 

 

2차원 평면에서 벡터장에 대한 그린의 정리와 2차원 발산의 정리의 공식과 그 물리적 의미를 설명합니다.

이후 3차원으로 확장되면 각각 스토크의 정리와 가우스의 발산정리가 됩니다.

 

 

2차원 평면에서 벡터장 F가 아래와 같고, 폐곡선 c와 그로 둘러싸인 영역 R에 대하여
$$\overrightarrow{F}=P(x,y)\hat{\mathit{ı}}+Q(x,y)\hat{\mathit{ȷ}}$$
접선방향 벡터: $$d\overrightarrow{r}=dx\hat{\mathit{ı}}+dy\hat{\mathit{ȷ}}$$	법선방향 벡터: $$d\overrightarrow{s}=dy\hat{\mathit{ı}}-dx\hat{\mathit{ȷ}}$$
경로 c를 따라 벡터장 F가 수행한 일: $${\oint }_c\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r}$$	경로 c를 통해 나가는 벡터장 F의 flux*: $${\oint }_c\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}$$
$={\displaystyle {\oint }_c(P(x,y)\hat{\mathit{ı}}+Q(x,y)\hat{\mathit{ȷ}})\cdot (dx\hat{\mathit{ı}}+dy\hat{\mathit{ȷ}})}$ $={\displaystyle {\oint }_{c}P(x,y)dx+Q(x,y)dy}$ $={\displaystyle {\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}}-{\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}})dA}$	$={\displaystyle {\oint }_c(P(x,y)\hat{\mathit{ı}}+Q(x,y)\hat{\mathit{ȷ}})\cdot (dy\hat{\mathit{ı}}-dx\hat{\mathit{ȷ}})}$ $={\displaystyle {\oint }_{c}P(x,y)dy-Q(x,y)dx}$ $={\displaystyle {\iint }_R({\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}}+{\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial y}})dA}$
↓	↓
Green의 정리 (Green’s theorem)	2차원 발산 정리 (Divergence Theorem in 2D)
$={\displaystyle {\iint }_R(\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{F})dA}$ : 영역 R에 대한 벡터장 F의 회전 성분의 총합	$={\displaystyle {\iint }_R(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{F})dA}$ :영역 R에서 생성하거나 소멸하는 벡터장의 크기(발산)
물리적 의미
경로 c를 따라 벡터장 F가 수행한 일 = 폐곡선c로 둘러싸인 영역 R에 대한 벡터장 F의 회전 성분의 총합 과 같다	경로 c의 표면을 통해 입출입하는 벡터장 F의 flux = 폐곡선c로 둘러싸인 영역 R에서 생성하거나 소멸하는 벡터장의 크기(발산) 과 같다
에너지 보존 법칙과 같은 느낌?	질량 보존 법칙과 같은 느낌?
3차원 확장 ↓ ↓
스토크스 정리 (Stokes' Theorem)	가우스의 발산 정리 (Gauss' Divergence Theorem)

 

*flux : 벡터장이 어떤 표면을 통과하는 양