그린의 정리, 2차원 발산정리 (스토크스의 정리, 가우스의 발산정리)

 

 

 

 

 

 

2차원 평면에서 벡터장에 대한 그린의 정리와 2차원 발산의 정리의 공식과 그 물리적 의미를 설명합니다.

이후 3차원으로 확장되면 각각 스토크의 정리와 가우스의 발산정리가 됩니다.

 

 

2차원 평면에서 벡터장 F가 아래와 같고, 폐곡선 c와 그로 둘러싸인 영역 R에 대하여
$$ \vec{F} = P(x,y) \hati +Q(x,y) \hatj$$
접선방향 벡터: $$ d\vec{r} = dx \hati +dy \hatj$$	법선방향 벡터: $$ d\vec{s} = dy \hati - dx \hatj$$
경로 c를 따라 벡터장 F가 수행한 일: $$  \oint_c \vec{F} \cdot \,d\vec{r} $$	경로 c를 통해 나가는 벡터장 F의 flux*: $$  \oint_c \vec{F} \cdot \,d\vec{s} $$
$  \color{gray} = \displaystyle \oint_c (P(x,y) \hati +Q(x,y) \hatj )\cdot (dx\hati +dy \hatj )$ $ = \displaystyle \oint_c P(x,y) dx +Q(x,y) dy$ $ =  \displaystyle \iint_R \left(\pdx{Q} - \pdx[y]{P} \right)\,dA $	$  \color{gray} = \displaystyle \oint_c (P(x,y) \hati +Q(x,y) \hatj )\cdot ( dy \hati - dx \hatj )$ $ = \displaystyle \oint_c P(x,y) dy - Q(x,y) dx$ $ =  \displaystyle \iint_R \left(\pdx{P} + \pdx[y]{Q} \right)\,dA $
↓	↓
Green의 정리 (Green’s theorem)	2차원 발산 정리 (Divergence Theorem in 2D)
$ =  \displaystyle\iint_R (\nabla \times \vec{F}) \,dA $ : 영역 R에 대한 벡터장 F의 회전 성분의 총합	$ =  \displaystyle\iint_R (\nabla \cdot \vec{F}) \,dA $ :영역 R에서 생성하거나 소멸하는 벡터장의 크기(발산)
물리적 의미
경로 c를 따라 벡터장 F가 수행한 일 = 폐곡선c로 둘러싸인 영역 R에 대한 벡터장 F의 회전 성분의 총합 과 같다	경로 c의 표면을 통해 입출입하는 벡터장 F의 flux = 폐곡선c로 둘러싸인 영역 R에서 생성하거나 소멸하는 벡터장의 크기(발산) 과 같다
에너지 보존 법칙과 같은 느낌?	질량 보존 법칙과 같은 느낌?
3차원 확장 ↓ ↓
스토크스 정리 (Stokes' Theorem)	가우스의 발산 정리 (Gauss' Divergence Theorem)

 

*flux : 벡터장이 어떤 표면을 통과하는 양